Patrones en la Naturaleza (1 de 2)

David Pratt

Enero de 2006, actualizado enero de 2022

Contenidos:

01. Phi y Fibonacci
02. Números en la naturaleza
03. Péntadas y héxadas
04. Sólidos platónicos
05. Precesión y yugas

"La naturaleza geometriza universalmente en todas sus manifestaciones" 

(H.P. Blavatsky). 

Los humanos siempre han contemplado con reverente maravilla la belleza, la majestad y el ingenio del mundo que les rodea: la amplitud del cielo, los ritmos regulares del Sol y la Luna, las miríadas de seres vivos en toda su espléndida diversidad, la magnificencia de una flor, las alas de una mariposa o un cristal de nieve, y así muchas personas consideran inverosímil la idea de que todo esto podría ser producto de un "accidente afortunado". Los antiguos griegos llamaron con acierto Kosmos al Universo, una palabra que denota orden y armonía subyacentes que se reflejan en muchos patrones intrigantes de la naturaleza.

01. Phi y Fibonacci

Consideremos la línea ABC en el siguiente diagrama:

Fig. 1.1.

El punto B divide la línea de tal manera que la relación entre el segmento más largo (AB) y el más corto (BC) sea la misma que entre la línea completa (AC) y el trazo de mayor longitud (AB). Esta proporción es conocida por varios nombres: sección dorada, media dorada, proporción áurea, proporción extrema y media, proporción divina o phi (φ). Si la distancia AB es igual a 1 unidad, entonces BC= 0,6180339887... y AC= 1,6180339887.... El segundo de estos dos números es la sección áurea o phi (a veces este nombre también se da al primer guarismo). Muchos diseños en la Naturaleza están relacionados con dicha cifra, y ha sido ampliamente utilizada en arquitectura sacra y obras de arte a través de las eras.

La sección dorada es un número irracional o trascendental, lo que significa que nunca se repite y nunca termina. Es única en el sentido de que su cuadrado se produce añadiendo el número 1 (φ² = φ + 1) y su recíproco restando 1 (1/φ = φ-1; phi es igual a (√5 + 1)/2, la raíz positiva de x²= x+1), y es el único número irracional que se acerca más a la racionalidad cuanto mayor sea la potencia a la que se eleva; por ejemplo, φ³⁰⁰⁰ = 1,0000000000 x 10⁵⁰⁰.

La sección áurea es parte de una serie interminable de números en que cualquier cantidad multiplicada por 1,618 da el siguiente número más alto, y cualquier otro multiplicado por 0,618 otorga el consecutivo más bajo:

Como phi mismo, esta serie tiene muchas propiedades interesantes:

• Cada número es igual a la suma de los dos precedentes;
• el cuadrado de cualquier dígito es igual al producto de cualquier par de cantidades a distancias iguales a izquierda y derecha (por ejemplo, 1,618² = 0,618 x 4,236);

• el recíproco de cualquier guarismo a la izquierda de 1,000 es igual al número a la misma distancia a la derecha de 1,000 (por ejemplo 1/0,382 = 2,618; para obtener resultados perfectamente exactos, los números tendrían que extenderse a una cantidad infinita de decimales).

En la siguiente ilustración el rectángulo grande es áureo, significando que sus lados están en la proporción 1,000: 1,618. Si se quita un cuadrado de este esquema, la figura restante es también un rectángulo dorado. Al continuar este proceso se produce una serie de rectángulos áureos anidados, y si conectamos los puntos sucesivos donde los "cuadrados giratorios" dividen los lados de rectángulos en proporciones áureas, produce una espiral logarítmica que se encuentra en muchas formas naturales (ver sección siguiente). Se puede generar una espiral parecida a partir de un triángulo dorado (o uno isósceles cuyos lados están en proporción áurea), bisectando repetidamente uno de los ángulos para generar un triángulo dorado más pequeño.

Fig. 1.2.

Fig. 1.3.

Una serie de números estrechamente relacionada con la sección áurea es la sucesión de Fibonacci: comienza con 0 y 1 y cada número posterior se genera sumando los dos anteriores, es decir:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...

Si tomamos dos de éstos a la vez y dividimos el más grande por el más pequeño, el valor oscilará alternativamente por encima y debajo de la sección áurea, mientras que converge en ella poco a poco. Si dividimos el número más pequeño por el mayor, el valor converge en 1/φ (0,618).  Nótese que en cualquier secuencia de cantidades donde comencemos con dos ascendentes y añadamos cada par consecutivo para producir el siguiente término, la relación de términos sucesivos tenderá siempre hacia φ.

La secuencia Fibonacci tiene varias características curiosas:

a) la suma de 10 números consecutivos siempre es divisible por 11, siendo igual en realidad a 11 veces el número séptimo; 

b) la suma de todas las cifras Fibonacci de la primera a la n-ésima es igual a la (n+2)-ava menos 1; así, la suma de los primeros 15 (986) es igual al dígito 17 (987) menos 1; 

c) el cuadrado de cualquier término difiere en 1 del producto de los dos términos adyacentes en la secuencia:  3²= 9, 2x5= 10; 13²= 169, 8x21= 168; 

d) el último dígito de cualquier cifra en la serie se repite con una periodicidad de 60: el 14° y el 74° terminan en 7;

e) los dos últimos guarismos (01, 01, 02, 03, 05, 08, 13, 21, etc.) se repiten en la secuencia con una periodicidad de 300; 

f) para cualquier cantidad de últimos dígitos desde tres hacia arriba, la periodicidad es 15 veces 10 a una potencia que es 1 menos que el número de dígitos (por ejemplo, para 7 dígitos es 15x10⁶ ó 15 millones).

02. Números en la naturaleza

Muchos patrones naturales están relacionados con la sección dorada y los números de Fibonacci. Por ejemplo, la espiral áurea es logarítmica o equiangular, un tipo de figura que se encuentra en foraminíferos unicelulares, girasoles, conchas marinas, cuernos y colmillos de animales, picos y garras, remolinos, huracanes y galaxias espirales. Una voluta de este tipo no altera su forma a medida que aumenta el tamaño, y debido a esa notable propiedad (conocida como auto-similitud)* era conocida en épocas anteriores como "espiral milagrosa".

*Se conocen como "fractales" las formas que parecen similares bajo cualquier ampliación. Numerosos fenómenos naturales aparentemente irregulares muestran auto-similitud aproximada, lo que significa que los patrones similares y detalles recurren a escalas cada vez más pequeñas. Esto se aplica, verbigracia, a la ramificación de rayos, ríos, árboles y pulmones humanos. Otros objetos fractales incluyen el nautilus, cabezas de coliflores, líneas de costa, nubes, copos de nieve y rocas (una piedra magnificada puede parecer una montaña entera).

Fig. 2.1. Galaxia del Remolino (M51).

Fig. 2.2. Cada incremento en la longitud de la concha del nautilus se acompaña por un aumento proporcional en su radio, de modo que esta criatura no necesita ajustar su equilibrio a medida que madura.

Fig. 2.3. Los pesados cuernos espirales de un carnero mantienen un centro de gravedad estable a medida que crecen.

Fig. 2.4. Debido a la estructura de sus ojos compuestos, los insectos como las polillas siguen una espiral equiangular cuando van en dirección a la llama de una vela. El halcón peregrino, que tiene ojos a cada lado de su cabeza, sigue un camino espiral análogo al momento de volar hacia su presa.

Phi se puede encontrar en las proporciones corporales de humanos y otras criaturas, incluyendo aves, insectos voladores, ranas, peces y caballos. La altura de un niño recién nacido se divide por el ombligo en dos partes iguales (1:1), mientras que en adultos la división de la altura corporal en ese sector produce dos secciones en la relación 1:φ, aunque dicho orificio suele ser un poco más alto en mujeres y más bajo en hombres. También phi está presente en la proporción entre la mano y el antebrazo, y entre el brazo superior y la mano más el antebrazo.

Fig. 2.5. Cada sección de un dedo índice, desde la punta hasta la base de la muñeca, es más grande que la anterior por aproximadamente 1,618, ajustándose a los números 2, 3, 5 y 8 de Fibonacci.

La molécula de ADN mide 34 angstroms de largo por 21 de ancho para cada ciclo completo de la espiral de doble hélice; 34 y 21 son números Fibonacci y su relación se aproxima estrechamente a phi. El ADN tiene dos ranuras en sus espirales, con una tasa phi entre el surco principal y el menor (aproximadamente 21 a 13 angstroms).

Fig. 2.6.

Los números de Fibonacci y la sección áurea se encuentran ampliamente en el reino vegetal. En casi todas las flores, la cuantía de pétalos es una cifra Fibonacci; por ejemplo, los lirios tienen 3 pétalos, los ranúnculos 5, muchos delfinios poseen 8, los caléndulas 13, los asteres 21 y las margaritas comúnmente 13, 21, 34, 55 u 89. Los números no-Fibonacci prácticamente no ocurren, pues muy pocas plantas tienen 4 pétalos y una excepción es el fucsia. Algunas especies son muy precisas sobre el número de pétalos, como el caso de los ranúnculos, pero con otras es una cifra Fibonacci sólo el número promedio de pétalos.

Fig. 2.7. Margarita Shasta con 21 pétalos.

A menudo los números Fibonacci se encuentran en la disposición de ramas, hojas y semillas (filotaxis). Si miramos una planta desde arriba, las hojas no están dispuestas directamente una encima de otra, sino de manera que optimiza su exposición al Sol y la lluvia. Los dígitos Fibonacci ocurren cuando se contabiliza tanto el número de veces que bordeamos el tallo desde una hoja a la siguiente, como la cantidad de hojas que se encuentran hasta que nos topamos con una directamente encima de la de partida. Por lo común el número de vueltas en cada dirección y la cuantía de hojas son tres números Fibonacci consecutivos.

En el siguiente diagrama, para pasar de la hoja superior a la última de las 5 hojas en la planta a la izquierda, se hacen 2 vueltas en sentido antihorario ó 3 en modo horario, y así 2, 3 y 5 son tres números Fibonacci consecutivos. Para la planta de la derecha se necesitan 3 rotaciones en dirección contraria a las agujas del reloj ó 5 horarias para pasar 8 hojas; nuevamente, 3, 5 y 8 son cantidades consecutivas de la mencionada progresión. Se estima que el 90% de todas las plantas presenta este patrón. 

Fig. 2.8. (de "A Beginner's Guide To Constructing The Universe" por Michael S. Schneider).

Existen disposiciones similares en las escamas de piñas o pepas de girasol. Los flósculos en la cabeza de éste último forman dos conjuntos de espirales que se cruzan, uno en sentido de las agujas del reloj y otro en rotación contraria. En algunas especies el número de volutas en sentido horario es 34 y en orientación opuesta 55; otras posibilidades son 55 y 89 u 89 y 144. Las piñas tienen 8 filas de escamas inclinadas a la izquierda y 13 a la derecha, y nuevamente estos son números Fibonacci sucesivos.

Fig. 2.9. Cabeza de girasol.

Fig. 2.10. Piña de ciprés con 13 espirales a la derecha y 8 a la izquierda.

Respecto a la estructura de semillas en cabezas de flores, el número de espirales en cada dirección está representado casi siempre por cifras Fibonacci vecinas, significando así que cada semilla es aproximadamente 0,618 de un giro de la última, es decir, hay cerca de 1,618 simientes por vuelta. Esto da como resultado un empaquetamiento óptimo de las semillas, ya que se encuentran siempre iguales sin importar cuán grande sea la cabeza de éstas. Del mismo modo, árboles y plantas propenden a tener 0,618 hojas o pétalos por giro, lo cual en términos de grados equivale a 0,618034 de 360°, que es 222,5°. Si medimos el ángulo que va en la dirección opuesta alrededor del círculo obtenemos: 360-222,5= 137,5°, que se conoce como ángulo áureo. Los guarismos Fibonacci aparecen en arreglos de hojas y el número de espirales en cabezas de semilla porque forman las mejores aproximaciones de número entero a la sección dorada. Cuanto más elevadas sean las cantidades en la secuencia Fibonacci, más se aproximan la proporción y el ángulo áureos y más compleja es la planta.

03. Péntadas y héxadas

Fig. 3.1. Cada par sucesivo de líneas gruesas en el pentagrama está en la proporción áurea.

La proporción dorada aparece en formas pentagonales de simetría, notoriamente en la estrella de cinco puntas (pentagrama) que era distintivo de la hermandad pitagórica. La simetría pentagonal abunda en organismos vivos, especialmente plantas y animales como estrellas o erizos marinos y medusas. Las flores con 5 pétalos (o múltiplos de 5) incluyen todas las flores frutales, lirios de agua, rosas, madreselvas, claveles, geranios, prímulas, orquídeas y pasifloras.

Fig. 3.2. Izquierda: pepino de mar (sección transversal). Derecha: Mellita quinquiesperforata (de "A Beginner's Guide To Constructing the Universe").

Fig. 3.3. Diatomea pentagonal.

Fig. 3.4. Estrella de mar.

Fig. 3.5. Las flores de manzana tienen cinco pétalos, se ven huecos pentagonales en la parte inferior de la fruta, y también el corte de ésta por la mitad revela un patrón "estrellado" en las simientes.

Fig. 3.6. El cuerpo humano expresa claramente la simetría de péntada en sus cinco sentidos y cinco extensiones del torso, donde cada extremidad termina en cinco dedos de manos o pies (de "A Beginner's Guide To Constructing The Universe").

Mientras que los patrones quíntuples abundan en las formas vivas, el mundo mineral favorece la simetría doble, triple, cuádruple y séxtuple. El hexágono es una forma de "empaquetamiento compacto" que permite una máxima eficiencia estructural y es muy común en el reino de moléculas y cristales, en que casi nunca se encuentran formas pentangulares. Los esteroides, el colesterol, el benceno, el TNT, las vitaminas C y D, la aspirina, el azúcar o el grafito muestran una simetría séxtuple, mientras que la arquitectura hexagonal más famosa es la construida por abejas, avispas y avispones.

Fig. 3.7. El núcleo en cada cristal de nieve está formado por seis moléculas de agua.

Fig. 3.8. Cristales de nieve (cortesía de Kenneth G. Libbrecht).

Fig. 3.9. El benceno (C₆ H₆).

Fig. 3.10. Celdillas en un panal.

Fig. 3.11. Las facetas en los ojos de una mosca forman una disposición hexagonal de empaquetado compacto.

Fig. 3.12. Un entramado hexagonal o panal de convección (células Bénard) en un líquido calentado.

La atmósfera de Saturno, uno de los cuatro gigantes gaseosos, circula alrededor de su eje en bandas rayadas. Vistas desde los polos, dichas franjas generalmente parecen ser circulares, pero la más cercana al polo norte es hexagonal con lados de unos 13.800 kms. en longitud, y a diferencia de otras nubes en su atmósfera aquélla gira lentamente -si es que se da tal movimiento- en relación con el planeta, siendo así uno de los rasgos más enigmáticos de Saturno. John Stuart Reid sostiene que una onda sónica de frecuencia ultra-baja, originada en el interior del planeta, se refleja por una región circular con alta ventosidad en la atmósfera, lo que forma una onda permanente de geometría hexagonal.

Fig. 3.13. La banda de nubes hexagonal más septentrional de Saturno (animación).

04. Sólidos platónicos

Un poliedro regular es una forma tridimensional cuyos bordes son todos de igual longitud, sus caras son idénticas y equiláteras, y las esquinas tocan la superficie de una esfera circunscrita. Sólo existen cinco poliedros regulares: tetraedro (4 caras triangulares, 4 vértices y 6 aristas); cubo/hexaedro (6 caras cuadradas, 8 vértices, 12 aristas); octaedro (8 costados triangulares, 6 cúspides y 12 cantos); dodecaedro (12 lados pentagonales, 20 vértices, 30 bordes) e icosaedro (20 faces triangulares, 12 cúspides y 30 bordes). En cada caso el número de caras más las esquinas es igual a la cantidad de aristas más 2. Estas cinco figuras también se conocen como sólidos platónicos o pitagóricos, están íntimamente conectados con la sección áurea y su belleza llamativa se deriva de las simetrías e igualdades en sus relaciones.

Fig. 4.1. Los cinco sólidos platónicos. En la Antigüedad se consideraba que el tetraedro correspondía al elemento fuego; el octaedro, al aire; el icosaedro, agua y el cubo, tierra. El dodecaedro simbolizaba la armonía de todo el Cosmos.

Fig. 4.2. Los 12 vértices de un icosaedro están definidos por tres rectángulos áureos perpendiculares. Con una longitud de borde de una unidad, su volumen es 5φ⁵/6.

La simetría de los sólidos platónicos conduce a otras propiedades interesantes: por ejemplo, el cubo y el octaedro tienen 12 aristas, pero los números de sus costados y vértices se intercambian (cubo: 6 caras y 8 vértices; octaedro: 8 lados y 6 cúspides). Del mismo modo, el dodecaedro e icosaedro tienen 30 bordes, pero el primero muestra 12 faces y 20 vértices, mientras que en el segundo es al revés, lo cual permite que un sólido se conecte a a su tridimensional doble o recíproco. Se obtiene un octaedro si conectamos los centros de todas las caras en un cubo, y un hexaedro si se unen los puntos medios de los lados en un octaedro. El mismo procedimiento puede usarse para vincular un icosaedro en un dodecaedro y viceversa. Asimismo, en la tradición hindú el icosaedro representa a purusha o principio espiritual masculino y genera el dodecaedro, simbolizando a prakriti o principio material femenino. El tetraedro es auto-dual, pues al unir los cuatro centros de sus lados se produce una segunda pirámide invertida.

Fig. 4.3.

Hay otras dos maneras para pasar de dodecaedro a icosaedro y a la recíproca. Si unimos interiormente todos los vértices de un icosaedro, las líneas se intersectarán en 20 puntos definiendo las cúspides de un dodecaedro; si luego se hace lo mismo con éste, generamos un icosaedro más pequeño dentro de él, y así sucesivamente ad infinitum. Del mismo modo, si alargamos los lados de un icosaedro se formará un dodecaedro envolvente, y cuando se alargan las faces del dodecaedro hay un icosaedro abarcador. Una vez más, esta operación puede repetirse indefinidamente, un símbolo apropiado de la enseñanza teosófica sobre mundos dentro de otros.

La suma de los ángulos en sólidos platónicos es 3.600 grados para el icosaedro, 6.480 en el dodecaedro, 1.440 respecto al octaedro, 2.160 en el cubo y 720 para el tetraedro. Cada uno de estos números es divisible por 9, lo que significa que la suma de los dígitos es 9 (p. ej., 6+4+8 = 18, 1+8= 9) y también son divisibles por los números canónicos 12, 60, 72 y 360. Como veremos, los elementos numéricos en los cinco poliedros regulares se repiten frecuentemente en ciclos naturales.

Los sólidos platónicos (especialmente tetraedro, octaedro y cubo) forman el basamento para la disposición ordenada de átomos en cristales, aunque jamás se encuentran el dodecaedro ni el icosaedro regulares.

Fig. 4.4. En cristales de sal, los átomos de cloruro de sodio están fuertemente apilados a lo largo de líneas cúbicas de fuerza.

La geometría tetraédrica se da comúnmente en química orgánica e inorgánica y en estructuras submicroscópicas. Por ejemplo, la molécula de metano (CH₄) es un tetraedro con un átomo de carbono en su centro y otro de hidrógeno en cada una de sus cuatro esquinas.

El carbono existe en tres formas puras. Respecto a los cristales de grafito, los átomos de carbono están dispuestos en capas hexagonales que se deslizan fácilmente de un lápiz a medida que escribimos; en el diamante, la sustancia más dura conocida, cada átomo de carbono está unido a otros cuatro en un arreglo tetraédrico super-fuerte. El buckminsterfullereno, el tercer alotropo carbónico altamente estable, consta de 60 átomos análogos dispuestos en los vértices de un icosaedro truncado (es decir, que tiene sus esquinas cortadas).

Fig. 4.5. De arriba abajo: grafito, diamante y buckminsterfullereno.

La gran mayoría de virus es icosaédrica, incluidos el de la poliomielitis y los 200 tipos responsables del resfriado común, y se cree que la simetría icosaedral permite la configuración de energía más baja de las partículas que interactúan en la superficie de una esfera. Los cinco sólidos platónicos también se encuentran en esqueletos radiolares.

Fig. 4.6. Se han encontrado sólidos platónicos poblando el mar. El tetraedro, algo redondeado como si lo estuviera por presión interna, se materializa en un protozoo llamado Callimitra agnesae; el cubo es Geometricus lithocubus, el octaedro Circoporus octahedrus, el dodecaedro Circorrhegma dodecahedrus y el icosaedro Icosahedrus circognia.

05. Precesiones y yugas

Debido al giro lento del eje planetario, el equinoccio de primavera ocurre unos 20 minutos más temprano cada año, cuando la Tierra sigue estando cerca de 1/72 de un grado (50 segundos/arco) desde el punto en su órbita donde ocurrió el equinoccio anterior. Por lo tanto, el punto vernal se mueve lentamente a través de las constelaciones zodiacales, y este ciclo astronómico clave se conoce como precesión de los equinoccios al cual los antiguos llamaron "gran año".

A una tasa promedio de 1/72 de grado por año, la Tierra entra en una nueva constelación cada 2.160 años y tarda otros 25.920 en hacer un circuito completo del zodíaco. La entrada en cada una de aquéllas señala el comienzo de lo que se denomina "ciclo mesiánico" en Teosofía, que se dice está marcado por la aparición en este plano físico de un maestro espiritual o avatar ("descenso" de la divinidad); por ejemplo, el inicio de la era pisceana se caracterizó por la llegada de Cristo. Curiosamente, 2.160 es el número total de grados en los ángulos de un cubo, y si éste se abre adopta la forma de una cruz, el símbolo universal que representa el descenso o "crucifixión" del espíritu en el "sepulcro de la materia".

Las antiguas cartas cronológicas de los brahmanes refieren a cuatro grandes ciclos o yugas: el krita o satya-yuga dura 4.000 años divinos, el treta-yuga 3.000, el dvapara-yuga 2.000 y el kali-yuga 1.000, donde un "año divino" es igual a 360 años terrestres. Cada yuga es introducida por una "alborada" y termina con un "crepúsculo", iguales a una décima parte del yuga. La longitud total de los cuatro periodos en años terrestres es 1.728.000 para el satya-yuga, 1.296.000 en el treta-yuga, 864.000 correspondientes al dvapara-yuga y 432.000 para el kali-yuga. Las longitudes de estas fases se relacionan en la proporción 4:3:2:1, es decir, todos ellos múltiplos de 432.000. Si se suman los dígitos individuales de cada yuga, el resultado es siempre 9 (por ejemplo, 1+2+9+6= 18, 1+8 = 9).

Estas cuatro épocas forman un maha-yuga, con una duración de 4.320.000 años, que en Teosofía se dice es igual a la mitad del período evolutivo de una Raza-Raíz o "humanidad", de la cual estamos ahora en la quinta. Se afirma que el período total de vida terrestre o "día de Brahma" se extiende por 1.000 maha-yugas ó 4.320.000.000 de años, y es seguido por un reposo o "noche" de igual lapso, lo que hace un total de 8.640.000.000 de años. Trescientos sesenta días y noches constituyen un año Brahma, equivalente a 3.110.400.000.000 de años ordinarios, mientras que 100 años Brahma componen una edad de Brahma, siendo éste el tiempo de vida total para nuestro Sistema Solar y equivalente a 311.040.000.000.000 de años. Si tomamos el ciclo precesional de 25.920 años y le añadimos un amanecer y un crepúsculo igual a una décima parte de su longitud, obtenemos 31.104, los dígitos iniciales de un año y una edad Brahma.

La cifra 4.320 es dos veces 2.160, el número total de grados en un cubo, la longitud del ciclo mesiánico y el tiempo promedio que toma el punto equinoccial para pasar a través de una constelación del zodíaco. El guarismo 432.000 es igual a 4x108.000, y 108.000 años es la longitud promedio de un ciclo astronómico conocido como revolución de la línea apsidal, que une el punto en la órbita elíptica de la Tierra donde está más cerca del Sol (perihelio) y el otro donde se sitúa más lejos (afelio). Este trazo se vuelve extremadamente lento -promedio de 12 segundos/arco al año- de oeste a este, y por tanto gira a través de todo el zodiaco en 108.000 años.

El Sol tiene un radio de aproximadamente 695.000 kms. [432.000 millas] y un diámetro de 1.390.100 [864.000 millas], mientras que el radio lunar es de 1.730 kms. [1.080] y su diámetro 3.475 [2.160]. La plata, el metal asociado con la Luna, tiene un peso atómico de 107,9, y además 108 es casi la distancia media entre el Sol y la Tierra en términos de diámetros solares, la separación promedio entre las superficies de Luna y Tierra en función de diámetros lunares, y el diámetro del Sol por lo que refiere a diámetros terrestres (cifras reales: 107,5, 108,3 y 109,1 respectivamente). Como resultado de estas notables "coincidencias", la Luna vista desde nuestro planeta tiene el mismo tamaño aparente que el Sol y cubre casi exactamente a éste durante un eclipse total.

Fig. 5.1.

Según la astronomía moderna, en cada ciclo precesional el Polo Norte terrestre traza lentamente un círculo aproximativo con un radio promedio de 23,5° (inclinación actual de su eje) alrededor del polo norte de la eclíptica, señalado por un punto en la constelación Draco y perpendicular al plano de la órbita terrestre en torno al Sol. Según la Teosofía, el eje de la Tierra no traza un círculo, sino una espiral alrededor de los polos eclípticos, pues se afirma que la inclinación de dicho centro cambia en cuatro grados por cada ciclo de precesión. 

El "círculo" trazado por el eje planetario en torno al polo eclíptico norte no es uniforme sino ondulado, ya que la fuerza gravitacional de la Luna hace que la Tierra "asienta" una vez cada 18 años (actualmente 18,6), movimiento conocido como nutación. Por lo tanto, el círculo contiene unas 1.440 ondas pues 18x1.440= 25.920. Tengamos en cuenta que el latido promedio del corazón humano es igual a 72 pulsaciones por minuto, y se respira alrededor de 18 veces/minuto. Se dice que 72 años (=6+60+6 ó 6x12) es la vida "idónea" de una persona, durante la cual el Sol se mueve a través de un grado del zodíaco en el ciclo precesional. Un humano respira 72 veces en 4 minutos, el tiempo requerido para que la Tierra gire 1 grado en su eje. En 24 horas (86.400 segundos) respiramos 25.920 veces (18x1.440), igual al número de años en el ciclo precesional.

Cada latido de nuestro corazón dura unas 8 décimas de segundo. Los períodos ocupados por cada una de las cinco fases cardíacas -y calculadas sobre la base de una hora- son: sístole auricular, 432 segundos; sístole ventricular, 1.296 segundos; reposo de todo el corazón, 1.728; diástole, 3.024 y diástole ventricular, 2.160. En promedio hay 4.320 latidos en una hora, 8.640 en 2 horas, 12.960 en 3, 17.280 en 4, 21.600 en 5 y 25.920 en 6. En estas cifras podemos reconocer los dígitos de las cuatro yugas, el ciclo mesiánico y precesional cuyas longitudes son todos múltiplos de 12, 60, 72 y 360. Así, una y otra vez encontramos correspondencias entre lo que ocurre en lo pequeño (microcosmos) y lo grande (macrocosmos): "como es arriba, es abajo".