Patrones en la Naturaleza (2 de 2)

David Pratt

Enero de 2006

Contenidos:

06. Poder formativo del sonido
07. Planetas y geometría
08. Distancias planetarias
09. Armonías del Sistema Solar
10. Hábitos inteligentes
11. Referencias

06. Poder formativo del sonido

A fines del siglo XVIII, el físico alemán Ernst Chladni demostró el poder organizador del sonido y la vibración en una forma visualmente fascinante. Verificó que cuando se dispersa arena en placas de metal y dibuja un arco de violín a través de ellas, las vibraciones resultantes hacen que las partículas se muevan a los lugares donde la placa está casi inmóvil, produciendo una variedad de modelos hermosos, regulares e intrincados.

*Joscelyn Godwin hace un interesante comentario sobre este fenómeno: "En una ocasión, pasando por una concurrida sala de baile donde se tocaba rock, no pude evitar percibir el piso del recinto en términos de un plato Chladni, y que los bailarines aparecían por todas partes como los granos de arena que saltaban y manipulados indefectiblemente" (1995, p. 266).

Fig. 6.1. Figuras Chladni. Clic aquí para una demostración en video.

Un siglo posterior a Chladni, Margaret Watts-Hughes creó imágenes colocando polvo o líquido en un disco y dejándolos vibrar al son de una nota musical sostenida. Experimentó con varios instrumentos, pero tuvo más éxito con su voz, y las partículas se organizaban en formas geométricas, patrones de flores (como pensamientos, prímulas, geranios y rosas) o en figuras de un helecho o árbol. Cuanto mayor es el tono, más complejos son los patrones producidos; de este modo, una poderosa nota sostenida produjo la huella de una cabeza de trigo.

Fig. 6.2. Figuras generadas por la voz de Margaret Watts-Hughes.

En la década de 1950 el estudio sobre este fenómeno de ondas fue continuado por el científico suizo Hans Jenny (1904-1972), quien nombró este campo como "cimática". Utilizando osciladores de cristal (que permiten la utilización de frecuencias y amplitudes precisas) vibró varios tipos de polvo, pastas y líquidos y logró hacer visibles los efectos acústicos tridimensionales. Produjo asimismo una asombrosa variedad de inspiradoras formas geométricas y armónicas, incluyendo patrones vitales fluidos que documentó en fotografías y películas.

Jenny también encontró que las frecuencias más altas originaban siluetas más complejas. Una frecuencia baja generó un círculo central simple rodeado por anillos, mientras que otra alta aumentó el número de anulus concéntricos. Las frecuencias aún más elevadas creaban formas parecidas a pétalos, mariposas o crustáceos, patrones de cebra o mandalas e imágenes de los cinco sólidos platónicos. A medida que aumenta la frecuencia, la disolución de un patrón podía estar seguida por una breve fase caótica antes que surgiera una estructura nueva, más intrincada y estable. Si la amplitud era incrementada, los movimientos se tornaban más rápidos y turbulentos, produciendo a veces pequeñas erupciones. Bajo determinadas circunstancias, Jenny fue capaz de hacer que las las formas cambiasen continuamente, pese a no alterar frecuencia ni amplitud.

Fig. 6.3. Patrón hexagonal producido por refracción de la luz a través de una pequeña muestra de agua (aproximadamente 1,5 cms. de diámetro) bajo influencia de vibración. La figura está en constante movimiento dinámico (Jenny, 2001, p. 112, cortesía de Jeff Volk).

Fig. 6.4. Una porción redondeada de polvo de lycopodium (4 cms. de diámetro) y hecha circular por vibración. Al mismo tiempo, dos centros de erupción giran en puntos diametralmente opuestos (Jenny, 2001, p. 108, cortesía de Jeff Volk).

Fig. 6.5. Jenny construyó un tonoscopio para traducir la voz humana en patrones visuales de arena. De izquierda a derecha: "oh", "ah", "oo" (Jenny, 2001, p. 65, cortesía de Jeff Volk).

Más recientemente, Peter Guy Manners descubrió que una grabación acústica de la Nebulosa del Cangrejo causaba que la arena formara un patrón sorprendentemente parecido a la propia nebulosa. Cuando se reprodujo el sonido casi infrasónico, los dos brazos giratorios se metieron al interior formando una bola apretada, y hacia el final de la cinta de audio la arena se hizo muy compacta y explotó de repente arrojando polvo de la mesa.

El Evangelio de Juan comienza diciendo: "En el principio era el Verbo que estaba con Dios, y el Verbo era Dios". El Libro Egipcio de los Muertos contiene un pasaje paralelo: "Yo soy el Eterno, yo soy Ra (...) Soy el que creó la Palabra (...) yo soy la Palabra", mientras que la tradición hindú enseña que "Nada Brahma" ("el mundo es sonido"). La idea subyacente es que todo lo que vemos es una palabra divina o vibración que se ha solidificado y manifiesta, y que las vibraciones son originadas en ámbitos internos más etéreos. Toda la naturaleza es esencialmente vibración rítmica; todo, desde las partículas subatómicas hasta las formas de vida más complejas, o desde planetas hasta galaxias, comprende campos resonantes de energía pulsante en interacción continua. En palabras de Cathie Guzzetta: "Los diseños en copos de nieve y caras de flores pueden tomar su forma porque están respondiendo a algunos sonidos en la naturaleza. Del mismo modo, es posible que los cristales, las plantas y los humanos puedan de alguna manera ser música que ha adquirido forma visible" (D. Campbell, ed., "Music: Physician For Times To Come", Quest, 1991, p. 149).

07. Planetas y geometría

Si dibujamos un círculo que represente a nuestro planeta -el cual tiene un radio promedio (en números redondos) de 3.960 millas [6.371 kms.]- y luego determinamos un cuadrado a su alrededor, éste último tendrá un perímetro equivalente a 31.680 millas [50.973 kms.]. Si trazamos un segundo círculo con una circunferencia igual al perímetro del cuadrado, su radio será de 5.040 millas u 8.109 kms. (usando 22/7 para una buena aproximación a pi (π) y como hacían los antiguos a menudo) ó 1.080 millas [1.737 kms.] más que el círculo más pequeño. Así como 3.960 millas es el radio de la Tierra, 1.080 millas es aquél de la Luna; en otras palabras, las dimensiones relativas de ambas reflejan la cuadratura del círculo.

Fig. 7.1. Tierra y Luna cuadran el círculo. Téngase en cuenta que 5.040 (radio del círculo exterior)= 1x2x3x4x5x6x7 (conocido como "factorial 7", también escrito 7!)= 7x8x9x10 (ó 10!/6!). Un cuarto de su circunferencia (también igual al diámetro del círculo de la Tierra)= 7.920 = 8x9x10x11 (u 11!/7!), y el área de cada semicírculo= 11!.

En Stonehenge pueden encontrarse exactamente iguales dígitos y proporciones (expresados como pies en lugar de millas; véase Michell, 1995, 2001). El círculo exterior (sarsen) tiene un radio medio de 50,4 pies [15,36 mts.] y una circunferencia de 316,8 [96,56 mts.], lo que es igual al perímetro de un cuadrilátero dibujado alrededor del círculo más pequeño (bluestone), que a su vez posee un radio de 39,6 pies [12,07 mts.] y corresponde al diámetro del círculo definido por la estructura interior en forma de U. Esto es una clara evidencia de que el pie y la milla "ingleses" son al menos tan remotos como Stonehenge, y al igual que con muchos otros sistemas antiguos de medida, están estrechamente relacionados con las dimensiones de la Tierra, la Luna y el Sol.

Fig. 7.2. Plano del terreno de Stonehenge. Los dinteles en la parte superior de las piedras en el círculo exterior (sarsen) eran escopleados a los montantes y unidos en sus extremos, formando lo que una vez fue una plataforma hecha con precisión y perfectamente nivelada.

Fig. 7.3. Dado su ángulo de inclinación de 51,83°, la Gran Pirámide egipcia también cuadra el círculo. La longitud de cada lado de la base dividida por la altura es igual a π/2; además, el apotema dividido por la mitad del lado de la base equivale a φ.

Fig. 7.4. 

Si un tetraedro está inscrito en una esfera con el ápice colocado en cada polo, las tres esquinas de la base tocarán la esfera a una latitud de 19,47 grados en el hemisferio opuesto. Esta coordenada marca la localización aproximada de los ascensos vorticulares importantes de la energía planetaria y solar. El centro principal en la actividad de las manchas solares se ubica en alrededor de 19,5° N y S; en Venus hay regiones volcánicas a 19,5° N y 25° S; Mauna Loa y Kilauea (Hawaii), los volcanes terrestres más grandes, se emplazan a 19,5° y 19,4° N respectivamente; en la Luna existe una extrusión de lava parecida a un mare a 19,6° S; el Monte Olimpo de Marte, posiblemente el volcán más grande del Sistema Solar, se encuentra a 19,3° N; la Gran Mancha Roja de Júpiter se encuentra a 21,0° S, mientras que en Saturno existen cinturones de tormenta a 20,0° N y S, y para el caso de Urano tenemos surgencias que provocan temperaturas más frescas a 20,0° N y S, además de un tachón umbrío a cerca de 22,5° S. La gran mancha oscura de Neptuno, fotografiada por el Voyager 2 en 1989, se localizó a 20,0° S, pero cuando el telescopio espacial Hubble vio el planeta en 1994 el lugar había desaparecido y fue reemplazado por una mancha opacada en un sitio similar del hemisferio norte.

Fig. 7.5. La Gran Mancha Roja de Júpiter.

08. Distancias planetarias

¿Están situados los planetas del Sistema Solar a distancias aleatorias del Astro Rey? El canon de Titius-Bode descubierto en 1766 sugiere que no es así, y se obtiene escribiendo primero 0, luego 3 y doblando a continuación el número anterior: 6, 12, 24, etc. Si se agrega 4 a cada cifra y la suma se divide por 10, los guarismos resultantes dan las distancias medias de las órbitas planetarias en unidades astronómicas (1 UA= distancia media del astro a la Tierra). Urano, encontrado en 1781, se ajustó a dicha ley al igual que Ceres, el asteroide más grande entre Marte y Júpiter y detectado en 1801; sin embargo, la ley se "rompe" completamente para Neptuno y Plutón que fueron hallados más tarde, y así se han hecho varios esfuerzos para modificar la ley Titius-Bode para hacerla más precisa*.

*William R. Corliss, "The Sun and Solar System Debris", 1986, p. 34-42.

Lo que esta regla de Titius-Bode significa en esencia es que las órbitas planetarias se hacen más grandes de modo progresivo y en una relación de aproximadamente 2:1 (o de octava) con la distancia creciente del Sol. Esto se pone de manifiesto en las columnas 3 y 4 de la tabla siguiente, donde se toma como unidad de medida la mitad de la distancia entre Mercurio y Tierra. Urano y Plutón tienen órbitas medias cercanas a las distancias precisas y necesarias para completar dos octavas más. Neptuno se encuentra casi exactamente a medio camino entre Urano y Plutón, como si completara la posición de media octava, lo cual puede indicar que no era miembro original del Sistema Solar (según la Teosofía fue capturado desde fuera de aquél), y de igual forma la ley Titius-Bode funciona para Plutón si ignoramos a Neptuno.

Debido a su naturaleza ad hoc, la ley Titius-Bode generalmente se descarta como "coincidencia numérica" que no tiene ninguna base tangible; sin embargo, el hecho de que las distancias del astro sigan un patrón se puede demostrar fácilmente trazando el logaritmo de la separación media de los planetas (incluyendo el cinturón de asteroides) contra su número secuencial (1 a 10). El hecho de que todos los puntos estén situados casi en línea recta comprueba que la gravitación está "cuantificada", pero actualmente no existe una teoría completa que explique cómo funciona la gravedad y por qué debe presentar esa característica. Las órbitas de los satélites alrededor de las lunas muestran el mismo espaciamiento cuantizado, al igual que las órbitas de electrones en torno a un núcleo atómico (en el modelo de Bohr).

Fig. 8.1. Esta ilustración hasta la 8.6 son cortesía de John Martineau ("A Little Book of Coincidence", Wooden Books, 2001).

Curiosamente, los radios orbitales promedio de los cuatro planetas interiores y los cuatro exteriores se reflejan en el cinturón de asteroides. Por ejemplo, si multiplicamos los radios orbitales de Venus, Marte, Júpiter y Urano obtenemos prácticamente el mismo valor que al multiplicar el radio orbital de Mercurio, Tierra, Saturno y Neptuno (5,51 x 10³⁴ kms. contra 5,56 x 10³⁴ kms.).

El espaciamiento planetario muestra muchas regularidades geométricas; por ejemplo:

Fig. 8.2. Tres círculos en contacto: si la órbita media de Mercurio pasa a través del centro de las tres circunferencias, la órbita de Venus encierra la figura (99,86% de precisión).

Fig. 8.3. Arriba: las órbitas promedio de Marte y Júpiter pueden ser dibujadas a partir de cuatro círculos en contacto o un cuadrado (99,995%). Debajo: un patrón relacionado espacia las órbitas de Tierra y Marte (99,8%).

Fig. 8.4. En este diagrama los círculos más pequeños y grandes representan no sólo los tamaños relativos, sino también las órbitas de Mercurio y Tierra, relacionados por un pentagrama (99,1%).

Fig. 8.5. Tamaños y órbitas relativos de Tierra y Saturno, relacionados por una estrella de 15 puntas (99,3%).

Fig. 8.6. Las órbitas medias de Tierra y Júpiter pueden ser creadas anidando esféricamente tres cubos u octaedros, o cualquier combinación triple de ellos (99,89%).

09. Armonías del Sistema Solar

Johannes Kepler, astrónomo del siglo XVII, descubrió un importante vínculo entre la distancia promedio del planeta respecto al Sol y el tiempo que tarda en orbitar a éste último; en otras palabras, la relación del cuadrado del período de revolución para un planeta (T) con el cubo de su distancia media (r) desde el Sol es siempre el mismo número (T²/r³= constante). Por ejemplo, obtenemos lo siguiente midiendo T en años-Tierra y r en unidades astronómicas:

La ciencia ortodoxa no tiene explicación real sobre esto ni para las muchas "resonancias" en la dinámica del Sistema Solar. Por ejemplo, los períodos de Júpiter y Saturno muestran una relación de 2:5; los de Urano, Neptuno y Plutón están en proporción 1:2:3; Marte y Júpiter se implican en una resonancia 1:12, mientras que para Saturno y Urano es 3:1, y también hay otra de 2:3 entre los períodos de rotación y orbitales de Mercurio.

¿Cuál es la naturaleza de tales "resonancias"? No hubo luces sobre el asunto al recurrir a conceptos matemáticos abstractos como el "espacio-tiempo curvo", y de este modo debe buscarse una explicación concreta en el comportamiento del éter dinámico que repleta el espacio, cuyos movimientos vorticulares hacen que los planetas y estrellas giren y los transporten en sus respectivas órbitas. Según el modelo conocido como Eterometría o ciencia del éter, T²/r³ es una constante para todos los planetas porque se refiere al flujo permanente de energía que el Sistema Solar como un todo extrae por su interacción gravitacional primaria con el éter, lo que implica un suministro energético casi continuo para cada uno de sus miembros.

Las velocidades de los planetas en sus órbitas representan sus frecuencias de tono. Los "acordes" cósmicos se producen cuando los planetas entran en conjunción o se "besan", es decir, se hallan en línea recta con la Tierra y el Sol. Durante periodos determinados ocurre un cierto número de conjunciones planetarias regulares, y las proporciones entre estas cifras reflejan con considerable precisión las tasas de longitud necesarias para producir las notas diatónicas de una octava, es decir, las siete notas de una escala musical.

Fig. 9.1. Conjunciones planetarias como "acordes" (Tame, 1984, p. 239). La línea en este diagrama representa una octava, dividida en siete intervalos por ocho notas. El trazo podría representar la cuerda de un instrumento musical monocorde, los números por encima de esa línea son las cantidades de conjunciones de cada planeta con el Sol y la Tierra, y las cifras que están bajo ese trazado son los años requeridos.

Las órbitas de los planetas forman elipses con el Sol en uno de sus focos; por lo tanto, sus velocidades son variables pues aceleran a medida que se aproximan al perihelio (punto en su órbita más cercano al Sol) y disminuyen su rapidez al acercarse al afelio (su mayor distancia de aquél). Siguiendo a Kepler, Francis Warrain expresó la relación entre las velocidades mínima y máxima de un planeta y las de diferentes astros como un intervalo musical. Los resultados (sólo aquellos para los planetas interiores que se dan a continuación) descartan por completo el azar y constituyen "un poderoso argumento para la disposición armónica del Sistema Solar" (Godwin, 1995, p. 132-136). De 74 tonos, hasta 58 pertenecen a la tríada mayor Do-Mi-Sol.

En la actualidad, el tiempo tomado por Venus para orbitar aparentemente la Tierra (es decir, un sínodo venusino) es de 584 días, de modo que 5 sínodos son equivalentes a 8 años-Tierra "prácticos" (con 365 días). Venus tiene un período orbital sideral de 225 días, y 13 de estas fases igualan 8 años-Tierra prácticos. En ambos casos los números que componen estas relaciones son cifras Fibonacci consecutivas, y por tanto dan aproximaciones a la sección áurea: 8/5= 1,6 y 13/8= 1,625. El "lucero del alba" gira muy lentamente sobre su eje, pues su día dura 243 días-Tierra ó 2/3 de un año-Tierra (la misma proporción que un quinto musical). Cada vez que Venus y Tierra se "besan", la primera lo hace con la misma cara mirando a su "hermana", y durante los 8 años de 5 besos Venus habrá girado en su propio eje 12 veces en 13 de sus años.

Así, en 8 años Venus tiene 5 conjunciones inferiores (cuando está entre Tierra y Sol) y 5 superiores (al momento de encontrarse en el lado opuesto del Sol). Si se traza cualquiera de estos grupos de 5 conjunciones en relación con el zodíaco, tenemos una estrella de cinco puntas o pentagrama donde los segmentos de las líneas constituyentes se relacionan de acuerdo con la sección dorada. Existe una ligera irregularidad porque el pentagrama no está completamente cerrado, habiendo una diferencia de dos días en la parte superior, y dicha anomalía genera un ciclo adicional pues significa que la "estrella" girará a través de todo el zodíaco en un período de aproximadamente 1.200 años. Es interesante notar que el pentagrama se asoció con la diosa babilónica Ishtar-Venus y que las representaciones de ese astro con aquella figura también se han encontrado en Teotihuacán (México). En ciertos sectores de la Teosofía se afirma que Venus está estrechamente conectada con nuestra mente superior (manas) o quinto principio de constitución septenaria.

Fig. 9.2. Teotihuacán: el símbolo estelar de Venus dispensando su influencia hacia la Tierra.

Fig. 9.3. El pentagrama de Venus. 

Según algunos escritores teosóficos, los números clave del Sistema Solar consisten en una combinación del año de Saturno y Júpiter expresada en años-Tierra. Aproximadamente 12 de éstos últimos (11,86) hacen 1 año de Júpiter, y cerca de 30 años-Tierra (29,46) constituyen 1 para Saturno: 12 x 30= 360, el número de grados en un círculo y la cantidad de días en un año-Tierra ideal. De igual forma, en Teosofía se afirma que un año terrenal oscila por encima y debajo de 360 días durante períodos muy largos.

Todo el proceso evolutivo puede resumirse como un descenso de los centros de conciencia divina -o mónadas- hacia la materia y su subsiguiente escalada al espíritu, enriquecido por la experiencia adquirida en su viaje durante eones. Esto puede simbolizarse por dos triángulos entrelazados y conocidos como el "sello de Salomón" o "signo de Vishnu", donde el triángulo que apunta hacia arriba representa al espíritu y el inverso alude a la materia. De manera significativa y a medida que Saturno y Júpiter giran alrededor del Sol, marcan dos triángulos entrelazados alrededor de nosotros cada 60 años; el ascendente está formado por sus conjunciones y el descendente por sus oposiciones. Una vez más, existe una ligera irregularidad porque transcurridos 60 años la conjunción no tiene lugar exactamente en el mismo punto y hay una distancia de 8 grados, de modo que los triángulos intersectados giran lentamente a través de todo el zodíaco en un período de 2.640 años, y asimismo existen 432 de estos ciclos sexagésimos de Júpiter/Saturno en un ciclo precesional de 25.920 años.

Fig. 9.4. Conjunciones y oposiciones de Júpiter y Saturno.

El Sol es el corazón y cerebro del reino planetario, y el ciclo frecuente de las manchas solares se asemeja a un latido de aquél. El periodo de estos "tachones" tiene un gran impacto en la Tierra, especialmente el magnetismo terrestre y el clima, y en los últimos 250 años su longitud ha variado irregularmente entre 9 y 14 años con un promedio de 11,05. El ápice de dicho acontecimiento se alcanza poco después de que Júpiter pasa el punto en su órbita más cercana al Sol (la Teosofía establece que el ciclo "ideal" de manchas solares es de 12 años, por lo que habría una periodicidad tal para cada año jupiteriano). El máximo de manchas no ocurre exactamente a mitad del ciclo y la parte ascendente del fenómeno tiene una longitud media de 4,3 años, muy cerca de la cifra 4,22 que dividiría la fase de 11,05 años exactamente de acuerdo con la sección dorada*.

*Theodor Landscheidt, "Solar activity: a dominant factor in climate dynamics", www.john daly.com/solar/solar.htm.

10. Hábitos inteligentes

Es una IMBECILIDAD atribuir el orden, las proporcionalidades armónicas y los maravillosos patrones recurrentes en la naturaleza al puro azar. El filósofo pagano Cicerón escribió: "Si alguien no puede percibir el poder de la Divinidad cuando mira a las estrellas, entonces dudo que sea capaz de sentir en absoluto. De la eterna maravilla de los cielos fluye toda gracia y capacidad. Si un individuo piensa que eso es estúpido, entonces él mismo debe estar fuera de su mente" ("Sobre la naturaleza de los dioses", Penguin Classics, 1972, 2.55).

Sin embargo, es insostenible la imagen teológica tradicional de "Dios" como un ser supremo y autoconsciente que piensa, planea y crea, ¡incluso logrando que todo el Universo salga de la nada! Si "él" es un ser, entonces es finito y tiene un principio y fin relativos. Si lo divino es perpetuo, no puede tratarse de una entidad pensante ni separada del Universo, sino que debe ser una con él como enseña el panteísmo. De este modo, la esencia divina sería sinónima con espacio ilimitado o conciencia-vida-sustancia infinitas, y como nada puede venir de la nada, siempre debe haber existido.

Los científicos materialistas prefieren atribuir el orden modelado del Cosmos a "leyes de la naturaleza", donde las nuevas surgen "de manera espontánea" a medida que avanza la evolución, pero esto no resuelve nada porque la palabra "ley" denota simplemente las operaciones constantes en la naturaleza, ¡las mismas regularidades que se supone explica el término! A veces los patrones en el mundo vivo se atribuyen a programas genéticos, pero esto es nada más que una declaración de fe, ya que todo lo que se conoce sobre el trabajo de esos genes es proporcionar el código para la fabricación de proteínas y no organizarlas en estructuras complejas. Además, es difícil aceptar la afirmación convencional de que los propios programas genéticos se originaron por "casualidad".

Si aparecieran algunos modelos a través de mutaciones genéticas aleatorias y selección natural, significaría, verbigracia, que la razón por la que encontramos ampliamente el ángulo áureo en arreglos foliares por todo el reino vegetal es debido a que contribuyó a su supervivencia. Esto implica que en un momento la mayoría de especies vegetales no encarnó el ángulo áureo, pero tal afirmación nunca puede ser comprobada. Lo que sí sabemos es que la vida surgió increíblemente rápido en la Tierra, que los tipos de organismos nuevos y a plena funcionalidad han tendido a aparecer en este planeta de igual modo veloz y que no existe evidencia alguna sobre vastos períodos de experimentación de ensayo y error a lo largo de líneas darwinistas (véase "Diseño y evolución de las especies").

La tradición teosófica o Sabiduría Antigua enseña que los patrones y las regularidades naturales son mejor considerados como hábitos, una expresión de su comportamiento instintivo arraigado y también la tendencia de los procesos naturales que siguen canales de acción esculpidos en innumerables ciclos evolutivos anteriores. Asimismo, esta Doctrina señala que todos los mundos reencarnan una y otra vez en cada rango imaginable. Detrás de estos hábitos se encuentra una consciencia omnipermeante, pues el Universo está compuesto por jerarquías interfuncionales de "seres" o formas energéticas inteligentes y semi-inteligentes, desde lo elemental hasta lo relativamente divino. El orden de la naturaleza también refleja la interconexión esencial de todas las cosas y también el factum de que los mismos patrones y procesos básicos se repiten en niveles muy distintos.

Se dice que todas las mónadas -unidades de conciencia- progresan mediante una serie de ámbitos hacia un estado de perfección relativa en el sistema de mundos donde evolucionan, y luego de un prolongado descanso pasan a otros sistemas en diferentes planos. La especie humana, en su estado actual de autoconsciencia rebelde, a menudo sucumbe a la tentación de abusar de su libre albedrío para fines egoístas y cegatos, creando discordia y sufrimiento, pero en nosotros está la capacidad de ajuste a la armonía fundamental de nuestro ser espiritual interno -o chispa del "Ser" Universal- y convertirnos en compañeros voluntarios de la naturaleza en la gran aventura cósmica llamada evolución.

[N.del T.: Imagen de cierre: gráficos para las trayectorias de cinco planetas en torno al Sol; del libro "Secretos del Cosmos", Colin A. Roman (1969), Ediciones Salvat (España), p. 34]. 

11. Referencias

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Patrones en la Naturaleza (1 de 2)

David Pratt

Enero de 2006, actualizado enero de 2022

Contenidos:

01. Phi y Fibonacci
02. Números en la naturaleza
03. Péntadas y héxadas
04. Sólidos platónicos
05. Precesión y yugas

"La naturaleza geometriza universalmente en todas sus manifestaciones" 

(H.P. Blavatsky). 

Los humanos siempre han contemplado con reverente maravilla la belleza, la majestad y el ingenio del mundo que les rodea: la amplitud del cielo, los ritmos regulares del Sol y la Luna, las miríadas de seres vivos en toda su espléndida diversidad, la magnificencia de una flor, las alas de una mariposa o un cristal de nieve, y así muchas personas consideran inverosímil la idea de que todo esto podría ser producto de un "accidente afortunado". Los antiguos griegos llamaron con acierto Kosmos al Universo, una palabra que denota orden y armonía subyacentes que se reflejan en muchos patrones intrigantes de la naturaleza.

01. Phi y Fibonacci

Consideremos la línea ABC en el siguiente diagrama:

Fig. 1.1.

El punto B divide la línea de tal manera que la relación entre el segmento más largo (AB) y el más corto (BC) sea la misma que entre la línea completa (AC) y el trazo de mayor longitud (AB). Esta proporción es conocida por varios nombres: sección dorada, media dorada, proporción áurea, proporción extrema y media, proporción divina o phi (φ). Si la distancia AB es igual a 1 unidad, entonces BC= 0,6180339887... y AC= 1,6180339887.... El segundo de estos dos números es la sección áurea o phi (a veces este nombre también se da al primer guarismo). Muchos diseños en la Naturaleza están relacionados con dicha cifra, y ha sido ampliamente utilizada en arquitectura sacra y obras de arte a través de las eras.

La sección dorada es un número irracional o trascendental, lo que significa que nunca se repite y nunca termina. Es única en el sentido de que su cuadrado se produce añadiendo el número 1 (φ² = φ + 1) y su recíproco restando 1 (1/φ = φ-1; phi es igual a (√5 + 1)/2, la raíz positiva de x²= x+1), y es el único número irracional que se acerca más a la racionalidad cuanto mayor sea la potencia a la que se eleva; por ejemplo, φ³⁰⁰⁰ = 1,0000000000 x 10⁵⁰⁰.

La sección áurea es parte de una serie interminable de números en que cualquier cantidad multiplicada por 1,618 da el siguiente número más alto, y cualquier otro multiplicado por 0,618 otorga el consecutivo más bajo:

Como phi mismo, esta serie tiene muchas propiedades interesantes:

• Cada número es igual a la suma de los dos precedentes;
• el cuadrado de cualquier dígito es igual al producto de cualquier par de cantidades a distancias iguales a izquierda y derecha (por ejemplo, 1,618² = 0,618 x 4,236);

• el recíproco de cualquier guarismo a la izquierda de 1,000 es igual al número a la misma distancia a la derecha de 1,000 (por ejemplo 1/0,382 = 2,618; para obtener resultados perfectamente exactos, los números tendrían que extenderse a una cantidad infinita de decimales).

En la siguiente ilustración el rectángulo grande es áureo, significando que sus lados están en la proporción 1,000: 1,618. Si se quita un cuadrado de este esquema, la figura restante es también un rectángulo dorado. Al continuar este proceso se produce una serie de rectángulos áureos anidados, y si conectamos los puntos sucesivos donde los "cuadrados giratorios" dividen los lados de rectángulos en proporciones áureas, produce una espiral logarítmica que se encuentra en muchas formas naturales (ver sección siguiente). Se puede generar una espiral parecida a partir de un triángulo dorado (o uno isósceles cuyos lados están en proporción áurea), bisectando repetidamente uno de los ángulos para generar un triángulo dorado más pequeño.

Fig. 1.2.

Fig. 1.3.

Una serie de números estrechamente relacionada con la sección áurea es la sucesión de Fibonacci: comienza con 0 y 1 y cada número posterior se genera sumando los dos anteriores, es decir:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...

Si tomamos dos de éstos a la vez y dividimos el más grande por el más pequeño, el valor oscilará alternativamente por encima y debajo de la sección áurea, mientras que converge en ella poco a poco. Si dividimos el número más pequeño por el mayor, el valor converge en 1/φ (0,618).  Nótese que en cualquier secuencia de cantidades donde comencemos con dos ascendentes y añadamos cada par consecutivo para producir el siguiente término, la relación de términos sucesivos tenderá siempre hacia φ.

La secuencia Fibonacci tiene varias características curiosas:

a) la suma de 10 números consecutivos siempre es divisible por 11, siendo igual en realidad a 11 veces el número séptimo; 

b) la suma de todas las cifras Fibonacci de la primera a la n-ésima es igual a la (n+2)-ava menos 1; así, la suma de los primeros 15 (986) es igual al dígito 17 (987) menos 1; 

c) el cuadrado de cualquier término difiere en 1 del producto de los dos términos adyacentes en la secuencia:  3²= 9, 2x5= 10; 13²= 169, 8x21= 168; 

d) el último dígito de cualquier cifra en la serie se repite con una periodicidad de 60: el 14° y el 74° terminan en 7;

e) los dos últimos guarismos (01, 01, 02, 03, 05, 08, 13, 21, etc.) se repiten en la secuencia con una periodicidad de 300; 

f) para cualquier cantidad de últimos dígitos desde tres hacia arriba, la periodicidad es 15 veces 10 a una potencia que es 1 menos que el número de dígitos (por ejemplo, para 7 dígitos es 15x10⁶ ó 15 millones).

02. Números en la naturaleza

Muchos patrones naturales están relacionados con la sección dorada y los números de Fibonacci. Por ejemplo, la espiral áurea es logarítmica o equiangular, un tipo de figura que se encuentra en foraminíferos unicelulares, girasoles, conchas marinas, cuernos y colmillos de animales, picos y garras, remolinos, huracanes y galaxias espirales. Una voluta de este tipo no altera su forma a medida que aumenta el tamaño, y debido a esa notable propiedad (conocida como auto-similitud)* era conocida en épocas anteriores como "espiral milagrosa".

*Se conocen como "fractales" las formas que parecen similares bajo cualquier ampliación. Numerosos fenómenos naturales aparentemente irregulares muestran auto-similitud aproximada, lo que significa que los patrones similares y detalles recurren a escalas cada vez más pequeñas. Esto se aplica, verbigracia, a la ramificación de rayos, ríos, árboles y pulmones humanos. Otros objetos fractales incluyen el nautilus, cabezas de coliflores, líneas de costa, nubes, copos de nieve y rocas (una piedra magnificada puede parecer una montaña entera).

Fig. 2.1. Galaxia del Remolino (M51).

Fig. 2.2. Cada incremento en la longitud de la concha del nautilus se acompaña por un aumento proporcional en su radio, de modo que esta criatura no necesita ajustar su equilibrio a medida que madura.

Fig. 2.3. Los pesados cuernos espirales de un carnero mantienen un centro de gravedad estable a medida que crecen.

Fig. 2.4. Debido a la estructura de sus ojos compuestos, los insectos como las polillas siguen una espiral equiangular cuando van en dirección a la llama de una vela. El halcón peregrino, que tiene ojos a cada lado de su cabeza, sigue un camino espiral análogo al momento de volar hacia su presa.

Phi se puede encontrar en las proporciones corporales de humanos y otras criaturas, incluyendo aves, insectos voladores, ranas, peces y caballos. La altura de un niño recién nacido se divide por el ombligo en dos partes iguales (1:1), mientras que en adultos la división de la altura corporal en ese sector produce dos secciones en la relación 1:φ, aunque dicho orificio suele ser un poco más alto en mujeres y más bajo en hombres. También phi está presente en la proporción entre la mano y el antebrazo, y entre el brazo superior y la mano más el antebrazo.

Fig. 2.5. Cada sección de un dedo índice, desde la punta hasta la base de la muñeca, es más grande que la anterior por aproximadamente 1,618, ajustándose a los números 2, 3, 5 y 8 de Fibonacci.

La molécula de ADN mide 34 angstroms de largo por 21 de ancho para cada ciclo completo de la espiral de doble hélice; 34 y 21 son números Fibonacci y su relación se aproxima estrechamente a phi. El ADN tiene dos ranuras en sus espirales, con una tasa phi entre el surco principal y el menor (aproximadamente 21 a 13 angstroms).

Fig. 2.6.

Los números de Fibonacci y la sección áurea se encuentran ampliamente en el reino vegetal. En casi todas las flores, la cuantía de pétalos es una cifra Fibonacci; por ejemplo, los lirios tienen 3 pétalos, los ranúnculos 5, muchos delfinios poseen 8, los caléndulas 13, los asteres 21 y las margaritas comúnmente 13, 21, 34, 55 u 89. Los números no-Fibonacci prácticamente no ocurren, pues muy pocas plantas tienen 4 pétalos y una excepción es el fucsia. Algunas especies son muy precisas sobre el número de pétalos, como el caso de los ranúnculos, pero con otras es una cifra Fibonacci sólo el número promedio de pétalos.

Fig. 2.7. Margarita Shasta con 21 pétalos.

A menudo los números Fibonacci se encuentran en la disposición de ramas, hojas y semillas (filotaxis). Si miramos una planta desde arriba, las hojas no están dispuestas directamente una encima de otra, sino de manera que optimiza su exposición al Sol y la lluvia. Los dígitos Fibonacci ocurren cuando se contabiliza tanto el número de veces que bordeamos el tallo desde una hoja a la siguiente, como la cantidad de hojas que se encuentran hasta que nos topamos con una directamente encima de la de partida. Por lo común el número de vueltas en cada dirección y la cuantía de hojas son tres números Fibonacci consecutivos.

En el siguiente diagrama, para pasar de la hoja superior a la última de las 5 hojas en la planta a la izquierda, se hacen 2 vueltas en sentido antihorario ó 3 en modo horario, y así 2, 3 y 5 son tres números Fibonacci consecutivos. Para la planta de la derecha se necesitan 3 rotaciones en dirección contraria a las agujas del reloj ó 5 horarias para pasar 8 hojas; nuevamente, 3, 5 y 8 son cantidades consecutivas de la mencionada progresión. Se estima que el 90% de todas las plantas presenta este patrón. 

Fig. 2.8. (de "A Beginner's Guide To Constructing The Universe" por Michael S. Schneider).

Existen disposiciones similares en las escamas de piñas o pepas de girasol. Los flósculos en la cabeza de éste último forman dos conjuntos de espirales que se cruzan, uno en sentido de las agujas del reloj y otro en rotación contraria. En algunas especies el número de volutas en sentido horario es 34 y en orientación opuesta 55; otras posibilidades son 55 y 89 u 89 y 144. Las piñas tienen 8 filas de escamas inclinadas a la izquierda y 13 a la derecha, y nuevamente estos son números Fibonacci sucesivos.

Fig. 2.9. Cabeza de girasol.

Fig. 2.10. Piña de ciprés con 13 espirales a la derecha y 8 a la izquierda.

Respecto a la estructura de semillas en cabezas de flores, el número de espirales en cada dirección está representado casi siempre por cifras Fibonacci vecinas, significando así que cada semilla es aproximadamente 0,618 de un giro de la última, es decir, hay cerca de 1,618 simientes por vuelta. Esto da como resultado un empaquetamiento óptimo de las semillas, ya que se encuentran siempre iguales sin importar cuán grande sea la cabeza de éstas. Del mismo modo, árboles y plantas propenden a tener 0,618 hojas o pétalos por giro, lo cual en términos de grados equivale a 0,618034 de 360°, que es 222,5°. Si medimos el ángulo que va en la dirección opuesta alrededor del círculo obtenemos: 360-222,5= 137,5°, que se conoce como ángulo áureo. Los guarismos Fibonacci aparecen en arreglos de hojas y el número de espirales en cabezas de semilla porque forman las mejores aproximaciones de número entero a la sección dorada. Cuanto más elevadas sean las cantidades en la secuencia Fibonacci, más se aproximan la proporción y el ángulo áureos y más compleja es la planta.

03. Péntadas y héxadas

Fig. 3.1. Cada par sucesivo de líneas gruesas en el pentagrama está en la proporción áurea.

La proporción dorada aparece en formas pentagonales de simetría, notoriamente en la estrella de cinco puntas (pentagrama) que era distintivo de la hermandad pitagórica. La simetría pentagonal abunda en organismos vivos, especialmente plantas y animales como estrellas o erizos marinos y medusas. Las flores con 5 pétalos (o múltiplos de 5) incluyen todas las flores frutales, lirios de agua, rosas, madreselvas, claveles, geranios, prímulas, orquídeas y pasifloras.

Fig. 3.2. Izquierda: pepino de mar (sección transversal). Derecha: Mellita quinquiesperforata (de "A Beginner's Guide To Constructing the Universe").

Fig. 3.3. Diatomea pentagonal.

Fig. 3.4. Estrella de mar.

Fig. 3.5. Las flores de manzana tienen cinco pétalos, se ven huecos pentagonales en la parte inferior de la fruta, y también el corte de ésta por la mitad revela un patrón "estrellado" en las simientes.

Fig. 3.6. El cuerpo humano expresa claramente la simetría de péntada en sus cinco sentidos y cinco extensiones del torso, donde cada extremidad termina en cinco dedos de manos o pies (de "A Beginner's Guide To Constructing The Universe").

Mientras que los patrones quíntuples abundan en las formas vivas, el mundo mineral favorece la simetría doble, triple, cuádruple y séxtuple. El hexágono es una forma de "empaquetamiento compacto" que permite una máxima eficiencia estructural y es muy común en el reino de moléculas y cristales, en que casi nunca se encuentran formas pentangulares. Los esteroides, el colesterol, el benceno, el TNT, las vitaminas C y D, la aspirina, el azúcar o el grafito muestran una simetría séxtuple, mientras que la arquitectura hexagonal más famosa es la construida por abejas, avispas y avispones.

Fig. 3.7. El núcleo en cada cristal de nieve está formado por seis moléculas de agua.

Fig. 3.8. Cristales de nieve (cortesía de Kenneth G. Libbrecht).

Fig. 3.9. El benceno (C₆ H₆).

Fig. 3.10. Celdillas en un panal.

Fig. 3.11. Las facetas en los ojos de una mosca forman una disposición hexagonal de empaquetado compacto.

Fig. 3.12. Un entramado hexagonal o panal de convección (células Bénard) en un líquido calentado.

La atmósfera de Saturno, uno de los cuatro gigantes gaseosos, circula alrededor de su eje en bandas rayadas. Vistas desde los polos, dichas franjas generalmente parecen ser circulares, pero la más cercana al polo norte es hexagonal con lados de unos 13.800 kms. en longitud, y a diferencia de otras nubes en su atmósfera aquélla gira lentamente -si es que se da tal movimiento- en relación con el planeta, siendo así uno de los rasgos más enigmáticos de Saturno. John Stuart Reid sostiene que una onda sónica de frecuencia ultra-baja, originada en el interior del planeta, se refleja por una región circular con alta ventosidad en la atmósfera, lo que forma una onda permanente de geometría hexagonal.

Fig. 3.13. La banda de nubes hexagonal más septentrional de Saturno (animación).

04. Sólidos platónicos

Un poliedro regular es una forma tridimensional cuyos bordes son todos de igual longitud, sus caras son idénticas y equiláteras, y las esquinas tocan la superficie de una esfera circunscrita. Sólo existen cinco poliedros regulares: tetraedro (4 caras triangulares, 4 vértices y 6 aristas); cubo/hexaedro (6 caras cuadradas, 8 vértices, 12 aristas); octaedro (8 costados triangulares, 6 cúspides y 12 cantos); dodecaedro (12 lados pentagonales, 20 vértices, 30 bordes) e icosaedro (20 faces triangulares, 12 cúspides y 30 bordes). En cada caso el número de caras más las esquinas es igual a la cantidad de aristas más 2. Estas cinco figuras también se conocen como sólidos platónicos o pitagóricos, están íntimamente conectados con la sección áurea y su belleza llamativa se deriva de las simetrías e igualdades en sus relaciones.

Fig. 4.1. Los cinco sólidos platónicos. En la Antigüedad se consideraba que el tetraedro correspondía al elemento fuego; el octaedro, al aire; el icosaedro, agua y el cubo, tierra. El dodecaedro simbolizaba la armonía de todo el Cosmos.

Fig. 4.2. Los 12 vértices de un icosaedro están definidos por tres rectángulos áureos perpendiculares. Con una longitud de borde de una unidad, su volumen es 5φ⁵/6.

La simetría de los sólidos platónicos conduce a otras propiedades interesantes: por ejemplo, el cubo y el octaedro tienen 12 aristas, pero los números de sus costados y vértices se intercambian (cubo: 6 caras y 8 vértices; octaedro: 8 lados y 6 cúspides). Del mismo modo, el dodecaedro e icosaedro tienen 30 bordes, pero el primero muestra 12 faces y 20 vértices, mientras que en el segundo es al revés, lo cual permite que un sólido se conecte a a su tridimensional doble o recíproco. Se obtiene un octaedro si conectamos los centros de todas las caras en un cubo, y un hexaedro si se unen los puntos medios de los lados en un octaedro. El mismo procedimiento puede usarse para vincular un icosaedro en un dodecaedro y viceversa. Asimismo, en la tradición hindú el icosaedro representa a purusha o principio espiritual masculino y genera el dodecaedro, simbolizando a prakriti o principio material femenino. El tetraedro es auto-dual, pues al unir los cuatro centros de sus lados se produce una segunda pirámide invertida.

Fig. 4.3.

Hay otras dos maneras para pasar de dodecaedro a icosaedro y a la recíproca. Si unimos interiormente todos los vértices de un icosaedro, las líneas se intersectarán en 20 puntos definiendo las cúspides de un dodecaedro; si luego se hace lo mismo con éste, generamos un icosaedro más pequeño dentro de él, y así sucesivamente ad infinitum. Del mismo modo, si alargamos los lados de un icosaedro se formará un dodecaedro envolvente, y cuando se alargan las faces del dodecaedro hay un icosaedro abarcador. Una vez más, esta operación puede repetirse indefinidamente, un símbolo apropiado de la enseñanza teosófica sobre mundos dentro de otros.

La suma de los ángulos en sólidos platónicos es 3.600 grados para el icosaedro, 6.480 en el dodecaedro, 1.440 respecto al octaedro, 2.160 en el cubo y 720 para el tetraedro. Cada uno de estos números es divisible por 9, lo que significa que la suma de los dígitos es 9 (p. ej., 6+4+8 = 18, 1+8= 9) y también son divisibles por los números canónicos 12, 60, 72 y 360. Como veremos, los elementos numéricos en los cinco poliedros regulares se repiten frecuentemente en ciclos naturales.

Los sólidos platónicos (especialmente tetraedro, octaedro y cubo) forman el basamento para la disposición ordenada de átomos en cristales, aunque jamás se encuentran el dodecaedro ni el icosaedro regulares.

Fig. 4.4. En cristales de sal, los átomos de cloruro de sodio están fuertemente apilados a lo largo de líneas cúbicas de fuerza.

La geometría tetraédrica se da comúnmente en química orgánica e inorgánica y en estructuras submicroscópicas. Por ejemplo, la molécula de metano (CH₄) es un tetraedro con un átomo de carbono en su centro y otro de hidrógeno en cada una de sus cuatro esquinas.

El carbono existe en tres formas puras. Respecto a los cristales de grafito, los átomos de carbono están dispuestos en capas hexagonales que se deslizan fácilmente de un lápiz a medida que escribimos; en el diamante, la sustancia más dura conocida, cada átomo de carbono está unido a otros cuatro en un arreglo tetraédrico super-fuerte. El buckminsterfullereno, el tercer alotropo carbónico altamente estable, consta de 60 átomos análogos dispuestos en los vértices de un icosaedro truncado (es decir, que tiene sus esquinas cortadas).

Fig. 4.5. De arriba abajo: grafito, diamante y buckminsterfullereno.

La gran mayoría de virus es icosaédrica, incluidos el de la poliomielitis y los 200 tipos responsables del resfriado común, y se cree que la simetría icosaedral permite la configuración de energía más baja de las partículas que interactúan en la superficie de una esfera. Los cinco sólidos platónicos también se encuentran en esqueletos radiolares.

Fig. 4.6. Se han encontrado sólidos platónicos poblando el mar. El tetraedro, algo redondeado como si lo estuviera por presión interna, se materializa en un protozoo llamado Callimitra agnesae; el cubo es Geometricus lithocubus, el octaedro Circoporus octahedrus, el dodecaedro Circorrhegma dodecahedrus y el icosaedro Icosahedrus circognia.

05. Precesiones y yugas

Debido al giro lento del eje planetario, el equinoccio de primavera ocurre unos 20 minutos más temprano cada año, cuando la Tierra sigue estando cerca de 1/72 de un grado (50 segundos/arco) desde el punto en su órbita donde ocurrió el equinoccio anterior. Por lo tanto, el punto vernal se mueve lentamente a través de las constelaciones zodiacales, y este ciclo astronómico clave se conoce como precesión de los equinoccios al cual los antiguos llamaron "gran año".

A una tasa promedio de 1/72 de grado por año, la Tierra entra en una nueva constelación cada 2.160 años y tarda otros 25.920 en hacer un circuito completo del zodíaco. La entrada en cada una de aquéllas señala el comienzo de lo que se denomina "ciclo mesiánico" en Teosofía, que se dice está marcado por la aparición en este plano físico de un maestro espiritual o avatar ("descenso" de la divinidad); por ejemplo, el inicio de la era pisceana se caracterizó por la llegada de Cristo. Curiosamente, 2.160 es el número total de grados en los ángulos de un cubo, y si éste se abre adopta la forma de una cruz, el símbolo universal que representa el descenso o "crucifixión" del espíritu en el "sepulcro de la materia".

Las antiguas cartas cronológicas de los brahmanes refieren a cuatro grandes ciclos o yugas: el krita o satya-yuga dura 4.000 años divinos, el treta-yuga 3.000, el dvapara-yuga 2.000 y el kali-yuga 1.000, donde un "año divino" es igual a 360 años terrestres. Cada yuga es introducida por una "alborada" y termina con un "crepúsculo", iguales a una décima parte del yuga. La longitud total de los cuatro periodos en años terrestres es 1.728.000 para el satya-yuga, 1.296.000 en el treta-yuga, 864.000 correspondientes al dvapara-yuga y 432.000 para el kali-yuga. Las longitudes de estas fases se relacionan en la proporción 4:3:2:1, es decir, todos ellos múltiplos de 432.000. Si se suman los dígitos individuales de cada yuga, el resultado es siempre 9 (por ejemplo, 1+2+9+6= 18, 1+8 = 9).

Estas cuatro épocas forman un maha-yuga, con una duración de 4.320.000 años, que en Teosofía se dice es igual a la mitad del período evolutivo de una Raza-Raíz o "humanidad", de la cual estamos ahora en la quinta. Se afirma que el período total de vida terrestre o "día de Brahma" se extiende por 1.000 maha-yugas ó 4.320.000.000 de años, y es seguido por un reposo o "noche" de igual lapso, lo que hace un total de 8.640.000.000 de años. Trescientos sesenta días y noches constituyen un año Brahma, equivalente a 3.110.400.000.000 de años ordinarios, mientras que 100 años Brahma componen una edad de Brahma, siendo éste el tiempo de vida total para nuestro Sistema Solar y equivalente a 311.040.000.000.000 de años. Si tomamos el ciclo precesional de 25.920 años y le añadimos un amanecer y un crepúsculo igual a una décima parte de su longitud, obtenemos 31.104, los dígitos iniciales de un año y una edad Brahma.

La cifra 4.320 es dos veces 2.160, el número total de grados en un cubo, la longitud del ciclo mesiánico y el tiempo promedio que toma el punto equinoccial para pasar a través de una constelación del zodíaco. El guarismo 432.000 es igual a 4x108.000, y 108.000 años es la longitud promedio de un ciclo astronómico conocido como revolución de la línea apsidal, que une el punto en la órbita elíptica de la Tierra donde está más cerca del Sol (perihelio) y el otro donde se sitúa más lejos (afelio). Este trazo se vuelve extremadamente lento -promedio de 12 segundos/arco al año- de oeste a este, y por tanto gira a través de todo el zodiaco en 108.000 años.

El Sol tiene un radio de aproximadamente 695.000 kms. [432.000 millas] y un diámetro de 1.390.100 [864.000 millas], mientras que el radio lunar es de 1.730 kms. [1.080] y su diámetro 3.475 [2.160]. La plata, el metal asociado con la Luna, tiene un peso atómico de 107,9, y además 108 es casi la distancia media entre el Sol y la Tierra en términos de diámetros solares, la separación promedio entre las superficies de Luna y Tierra en función de diámetros lunares, y el diámetro del Sol por lo que refiere a diámetros terrestres (cifras reales: 107,5, 108,3 y 109,1 respectivamente). Como resultado de estas notables "coincidencias", la Luna vista desde nuestro planeta tiene el mismo tamaño aparente que el Sol y cubre casi exactamente a éste durante un eclipse total.

Fig. 5.1.

Según la astronomía moderna, en cada ciclo precesional el Polo Norte terrestre traza lentamente un círculo aproximativo con un radio promedio de 23,5° (inclinación actual de su eje) alrededor del polo norte de la eclíptica, señalado por un punto en la constelación Draco y perpendicular al plano de la órbita terrestre en torno al Sol. Según la Teosofía, el eje de la Tierra no traza un círculo, sino una espiral alrededor de los polos eclípticos, pues se afirma que la inclinación de dicho centro cambia en cuatro grados por cada ciclo de precesión. 

El "círculo" trazado por el eje planetario en torno al polo eclíptico norte no es uniforme sino ondulado, ya que la fuerza gravitacional de la Luna hace que la Tierra "asienta" una vez cada 18 años (actualmente 18,6), movimiento conocido como nutación. Por lo tanto, el círculo contiene unas 1.440 ondas pues 18x1.440= 25.920. Tengamos en cuenta que el latido promedio del corazón humano es igual a 72 pulsaciones por minuto, y se respira alrededor de 18 veces/minuto. Se dice que 72 años (=6+60+6 ó 6x12) es la vida "idónea" de una persona, durante la cual el Sol se mueve a través de un grado del zodíaco en el ciclo precesional. Un humano respira 72 veces en 4 minutos, el tiempo requerido para que la Tierra gire 1 grado en su eje. En 24 horas (86.400 segundos) respiramos 25.920 veces (18x1.440), igual al número de años en el ciclo precesional.

Cada latido de nuestro corazón dura unas 8 décimas de segundo. Los períodos ocupados por cada una de las cinco fases cardíacas -y calculadas sobre la base de una hora- son: sístole auricular, 432 segundos; sístole ventricular, 1.296 segundos; reposo de todo el corazón, 1.728; diástole, 3.024 y diástole ventricular, 2.160. En promedio hay 4.320 latidos en una hora, 8.640 en 2 horas, 12.960 en 3, 17.280 en 4, 21.600 en 5 y 25.920 en 6. En estas cifras podemos reconocer los dígitos de las cuatro yugas, el ciclo mesiánico y precesional cuyas longitudes son todos múltiplos de 12, 60, 72 y 360. Así, una y otra vez encontramos correspondencias entre lo que ocurre en lo pequeño (microcosmos) y lo grande (macrocosmos): "como es arriba, es abajo".